Suma de cuatro cuadrados

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Esta aplicación Web encuentra la descomposición de cualquier número natural de hasta 10000 dígitos en una suma de hasta cuatro cuadrados.

Como el programa no factoriza el número entrado por el usuario, en algunos casos se mostrarán tres cuadrados donde una suma de dos bastaría. Por ejemplo, 10000998089 = 95317² + 30260².

Vea los métodos que usa este applet.

Expresiones

Se pueden entrar expresiones que usen los siguientes operadores y paréntesis:

  • + para suma
  • - para resta
  • * para multiplicación
  • / para división entera
  • % para el resto de la división entera
  • ^ o ** para exponenciación (el exponente debe ser mayor o igual que cero).
  • <, ==, >; <=, >=, != para comparaciones. Los operadores devuelven cero si es falso y -1 si es verdadero.
  • AND, OR, XOR, NOT para lógica binaria. Las operaciones se hacen en binario (base 2). Se agregan infinitos ceros (unos) a la izquerda de los números positivos (negativos).
  • SHL o <<: Si b ≥ 0, a SHL b desplaza el valor a a la izquierda la cantidad de bits especificada por b. Esto equivale a a × 2b. En caso contrario, a SHL b desplaza el valor a a la derecha la cantidad de bits especificada por −b. Esto equivale a floor(a / 2b). Ejemplo: 5 SHL 3 = 40.
  • SHR o >>: Si b ≥ 0, a SHR b desplaza el valor a a la derecha la cantidad de bits especificada por b. Esto equivale a floor(a / 2b). En caso contrario, a SHR b desplaza el valor a a la izquierda la cantidad de bits especificada por −b. Esto equivale a a × 2b. Ejemplo: -19 SHR 2 = -5.
  • n!: factorial (n debe ser mayor o igual que cero). Ejemplo: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720.
  • n!! ... !: factorial múltiple (n debe ser mayor o igual que cero). Es el producto de n por nk por n2k ... (todos los números son mayores que cero) donde k es la cantidad de signos de exclamación. Ejemplo: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105.
  • p#: primorial (producto de todos los primos menores o iguales a p). Ejemplo: 12# = 11 × 7 × 5 × 3 × 2 = 2310.
  • B(n): Número probablemente primo anterior a n. Ejemplo: B(24) = 23.
  • F(n): Número de Fibonacci Fn que corresponde a la secuencia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. donde cada elemento es igual a la suma de los dos anteriores. Ejemplo: F(7) = 13.
  • L(n): Número de Lucas Ln = Fn-1 + Fn+1
  • N(n): Número probablemente primo posterior a n. Ejemplo: N(24) = 29.
  • P(n): particiones irrestrictas (cantidad de descomposiciones de n en sumas de números enteros sin tener en cuenta el orden). Ejemplo: P(4) = 5 porque el número 4 se puede particionar de 5 formas distintas: 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1.
  • Gcd(m,n, ...): Máximo común divisor de estos números enteros. Ejemplo: GCD(12,16) = 4.
  • Lcm(m,n, ...): Mínimo común múltiplo de estos números enteros. Ejemplo: LCM(12,16,24) = 48.
  • Modinv(m,n): inverso de m modulo n, sólo válido cuando m y n son coprimos, es decir que no tienen factores en común. Ejemplo: Modinv(3,7) = 5 porque 3 × 5 ≡ 1 (mod 7)
  • Modpow(m,n,r): halla mn módulo r. Ejemplo: Modpow(3, 4, 7) = 4, porque 34 ≡ 4 (mod 7).
  • Jacobi(m,n): obtiene el símbolo de Jacobi de m y n. Cuando el segundo argumento es primo, el resultado es cero si m es múltiplo de n, es uno si hay una solución a x² ≡ m (mód n) y es igual a −1 cuando la congruencia mencionada no tiene soluciones.
  • IsPrime(n): retorna cero si n no es un primo probable y -1 si lo es. Ejemplo: IsPrime(5) = -1.
  • Sqrt(n): parte entera de la raíz cuadrada del argumento.
  • NumDigits(n,r): cantidad de dígitos de n en base r. Ejemplo: NumDigits(13, 2) = 4 porque 13 en binario (base 2) se expresa como 1101.
  • SumDigits(n,r): suma de dígitos de n en base r. Ejemplo: SumDigits(213, 10) = 6 porque la suma de los dígitos expresados en decimal es 2+1+3 = 6.
  • RevDigits(n,r): halla el valor que se obtiene escribiendo para atrás los dígitos de n en base r. Ejemplo: RevDigits(213, 10) = 312.

Puedes usar el prefijo 0x para números hexadecimales, por ejemplo 0x38 es igual a 56.

Procesamiento en lotes

Escribe una expresión por línea, y luego aprieta el botón Suma de cuadrados.

Las líneas en blanco o de comentarios (que comienzan con el carácter numeral '#') se replicarán en la salida.

Expresión para ciclos: con la siguiente sintaxis podrás factorizar o determinar si varios números son primos con sólo digitar una línea. Deberás escribir cuatro o cinco expresiones separadas por puntos y coma:

  • Primera expresión: Debe comenzar con la cadena 'x=' e indica el primer valor para la variable x.
  • Segunda expresión:Debe comenzar con la cadena 'x=' e indica el siguiente valor para la variable x.
  • Tercera expresión: Contiene la expresión de finalización del ciclo. Si es distinto que cero (indicando verdadero) el ciclo termina, en caso contrario, continúa.
  • Cuarta expresión: Contiene la expresión que se debe expresar como suma de cuadrados.
  • Quinta expresión (opcional): Si esta expresión no vale cero (indicando verdadero), se muestra o factoriza la cuarta expresión, y si es cero (indicando falso), se ignora la cuarta expresión.

Excepto la primera expresión, las demás expresiones deben incluir la variable x y/o el contador c.

Si la expresión de finalización es falsa después de procesar 1000 números, aparecerá el botón Continuar. Apretando este botón hará que el programa procese los siguientes 1000 números, y así sucesivamente.

Ejemplo 1: Hallar la descomposición en suma de cuadrados de los números entre cero y 5000. La línea a escribir es: x=0;x=x+1;x<=5000;x. La calculadora mostrará los resultados en bloques de 1000 valores. Deberá presionar el botón Continuar para obtener el siguiente bloque.

Ejemplo 2: Hallar la descomposición en suma de cuadrados de los primeros 100 números de la forma primo menos uno. La línea a escribir es: x=3;x=n(x);c<=100;x-1.

Código fuente

Se puede bajar el código fuente de este programa y el del viejo applet de suma de cuatro cuadrados desde GitHub. El código fuente está escrito en lenguaje C, por lo que es necesario Emscripten para generar Javascript.

Escrito por Dario Alpern. Actualizado el 26 de noviembre de 2021.

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